Las
matemáticas no sólo es la ciencia de los números, sino que también se
usa en la vida cotidiana, desde calcular el tiempo y la distancia, hasta
manejar el
dinero, y es esencial en STEM (ciencia, campos de tecnología, ingeniería
y
matemáticas). Los números están presentes en cualquier cosa de la vida
cotidiana, todo está numerado, clasificado, ordenado en el tiempo,
cuantificado, valorado, medido, jerarquizado, como un lenguaje especial
que nos
ayuda a ordenar y dar estabilidad a la realidad que nos rodea, dándonos
una
referencia, y es usada para ampliar y crear más utilidades de materiales
y
técnicas que nos hagan la vida más avanzada, estando incluso presente en
cualquiera de nuestros entretenimientos y creaciones (deportes, juegos
de mesa,
arte,…). Tal es nuestra naturaleza matemática, que queremos usar el
cálculo
hasta para las cosas más abstractas como el amor, la belleza, la
creatividad o
la inteligencia; o para las que no somos capaces de ver directamente,
como el
espacio exterior, el abismo de los océanos y las capas profundas de la
tierra,
o hacer predicciones del futuro.
El sentido numérico es una
adquisición del reino animal muy anterior al ser humano, y está presente en un
gran abanico de seres vivos de diversas especies, como los simios, delfines,
aves, roedores, felinos y muchas más. La supervivencia de ellos depende en
buena parte de su sentido numérico, en situaciones que pueden ir desde la
cantidad de crías a alimentar, la cantidad de alimentos a conseguir, el número
de depredadores a los que poder enfrentarse, estimar las distancias a la que se
encuentran las presas o estimar y comparar el tamaño de un rival al que
enfrentarse para ser el macho dominante de la manada. El sentido numérico es
ancestral, anterior al lenguaje o la lectoescritura. Esta capacidad básica e innata, denominada numerosidad o sentido numérico,
permite percibir o estimar el número de objetos que componen un grupo de forma
aproximada y distinguir entre mucho o poco.
Los bebés también tienen esa
capacidad innata de "numerosidad" o la cantidad de cosas, que va
desarrollándose, dando lugar a otras habilidades más sofisticadas de cálculo. El
buen funcionamiento del sentido numérico implica que (Serra, 2013):
- Se entiende el principio de correspondencia uno a uno.
- Se entiende que los conjuntos de elementos tienen propiedades numéricas, de manera que variando estos conjuntos, estas propiedades se modifican (los conjuntos crecen, disminuyen o se equiparan).
- Los conjuntos de elementos no tienen que ser visibles, sino que pueden hacer referencia a elementos auditivos, sensitivos, abstractos, como las ideas y los deseos.
- Se pueden identificar pequeñas cantidades sin necesidad de emplear el código verbal (hasta cuatro elementos).
El sentido numérico tiene
sus límites, pudiendo hacer estimaciones de pequeñas cantidades, estimándose en
cuatro elementos la capacidad del sistema de estimación. El sentido de
numerosidad no sólo estima a simple vista si dos conjuntos son iguales, o uno
mayor que otro, sino que también permite la habilidad de percibir que el grupo
aumenta o disminuye si se le ponen o quitan elementos (¿y si una hembra pierde
una de sus crías en un desplazamiento de un lugar a otro?).
- Desarrollo del sentido numérico general (sistema central de magnitud): es una habilidad innata que consiste en diferenciar entre uno y múltiples elementos.
- Desarrollo del sistema numérico verbal: habilidad de asociar una cantidad a una palabra concreta. Se desarrolla entre los 2 y los 6 años
- Desarrollo del sistema numérico arábigo: habilidad de asociar cantidades a una cifra concreta
- Desarrollo de la representación de una secuenciación numérica, también denominada línea numérica mental: habilidad de representar secuencialmente una línea numérica imaginaria, lo cual facilita el cálculo aproximado.
- Escasa habilidad para contar de modo inteligible para el propio sujeto.
- Dificultad en las operaciones básicas (adición, sustracción, multiplicación y división).
- Dificultad para el cálculo mental.
- Necesidad de usar los dedos para contar.
- Dificultad en la adquisición de automatismos para contar.
- Dificultad para estimar cálculos aproximados.
- Dificultad con las secuencias (se pierden al contar, al aprender las tablas de multiplicar, etc.).
- Lentitud en la realización de tareas matemáticas. Precisan más tiempo y esfuerzo para hacer los deberes de matemáticas y con resultados no muy positivos.
La habilidad de contar en
voz alta y estrategias para contar. Interviene el giro angular en la conversión
grafema (número escrito)-fonema (numero hablado), y fonema-grafema. Por tanto,
una alteración en el desarrollo del lenguaje y de la lectoescritura puede
provocar un retraso en la adquisición de la habilidad de contar y en el
almacenaje de hechos numéricos y aritméticos (Serra, 2013).
Por otro lado, la
correspondencia uno a uno también se desarrolla en torno a los dos años, en
paralelo a la adquisición del sistema numérico verbal. En esta etapa inicial,
las palabras que representan los números son vistos como meras etiquetas, sin
una asociación con el conjunto final de objetos. Más adelante, sobre los 3 años
y medio, los niños son capaces de contar hasta 3, con correspondencia de “uno a
uno”, en voz alta o interiormente. Pueden llegar a responder cuántos objetos
hay en total utilizando el conteo.
La habilidad para contar
está en la base del desarrollo de las operaciones aritméticas elementales:
sumar, restar, multiplicar y dividir.
La importancia de la
magnitud de los números es determinante en la realización de tareas aritméticas,
especialmente en las de cálculo aproximado. Cuando se comparan dos números entre
sí, a igual distancia entre ellos, existe mayor dificultad conforme se
incrementan sus valores. Es más fácil comparar la distancia entre 4 y 2, que
entre 6 y 4. Cuanto menor es la distancia entre dos números, más tiempo se
emplea en compararlos. Se tarda más en compara 5 y 6, que 8 y 2.
En todas estas operaciones,
la magnitud de los números representados es un aspecto de gran importancia, ya
que la manipulación de números grandes afecta a la dificultad del proceso.
La realización de la suma
lleva implícito el hecho de entender que hay que unir dos conjuntos de
elementos y contar el total de estos. Esto puede conseguirse a través de
diferentes estrategias:
Se
cuentan los elementos del
primer conjunto, y se continua contando con los del segundo conjunto.
Por
ejemplo, 3+4, se cuenta un, dos tres, y se continua con el segundo
conjunto
cuatro, cinco, seis y siete. Otra forma es que, pariendo de la cifra del
primer
conjunto (3), se sigue contando los elementos del segundo conjunto. Una
tercera
estrategia, más sencilla y con menor riesgo a equivocarse, es partir del
conjunto mayor (4), y seguir contando los elementos del conjunto menor.
Una
estrategias más es saberse de memoria las sumas de pequeñas cantidades,
de tal forma que no sea necesario contar. Te las aprendes como si se
tratasen de unas tablas. El aprendizaje de la resta puede basarse en
estrategias
similares, aunque resulte algo más complejo para los niños.
Respecto a la multiplicación
y la división, han de introducirse más tarde, explicándose bajo la base de que
sumas o restas repetidas pueden representarse más fácilmente con estas operaciones. La división da lugar a otros conceptos matemáticos
como las fracciones y los porcentajes.
Posteriormente, y en
paralelo a hacer más complejas las operaciones aritméticas, se van
introduciendo conceptos de magnitud, los sistemas de medida, la geometría, la
proporcionalidad, la estadística, la probabilidad y un largo etcétera. Como
vemos, partiendo del sentido numérico original, fruto de la escolarización se va
sofisticando el aprendizaje del cálculo y, con ello, formando los complejos
circuitos neurocognitivos y las estrategias cognitivas para su aplicación.
A lo largo de los últimos
años, se han propuestos diferentes modelos para explicar el procesamiento
numérico, destacando dos por encima de todos ellos: el modelo de McClosky et
al. (1985), y el modelo de triple código de procesamiento de Dehaene et al.
(2003).
McClosky et al. (1985),
distinguen tres componentes: el sistema de procesamiento numérico, el sistema
de cálculo y el sistema de representaciones semánticas. Las alteraciones en uno
u otro sistema se manifiestas de manera diferente. Así, las características de
cada sistema serían:
- Sistema de procesamiento numérico: compuesto por un subsistema de entrada (input), en que se distingue el código arábigo (7), y el verbal (siete) en sus modalidades fonológica y escrita. Por otro lado, un subsistema de salida (output) o de producción, subdividido de igual forma que el de entrada.
- Sistema de cálculo: formado por un subsistema de cálculo mental y un subsistema de cálculo escrito. Ambos subsistemas incluyen la capacidad para comprender los signos matemáticos, el acceso a los datos aritméticos básicos (tablas de multiplicar, sumas elementales), y el dominio de algoritmos esenciales para la resolución de las operaciones básicas (ej: sumas o restas con llevadas).
- Sistema de representaciones semánticas: que codifica la información de magnitudes y actúa de intermediario en la transcodificación o traducción de un código de entrada (input) a uno de salida (output) diferentes. También actúa de intermediario en la resolución de operaciones aritméticas.
Por su parte, el modelo del triple código (Dehaene et
al., 2003), afirma que el procesamiento aritmético depende de tres sistemas con
funciones diferentes, organizados en módulos: el módulo verbal, el visual y el
de magnitud. Las operaciones que son relativamente simples, que dependen del
lenguaje, son procesadas por el sistema verbal (hemisferio izquierdo), mientras
que las tareas más complejas, que requieren la estimación de magnitudes y la
representación visual se encuentran localizadas en los dos hemisferios,
implicando los sistemas visual y de magnitud. En una entrada posterior volvemos a
hacer referencia a este modelo.
Los estudios realizados
confirman parcialmente ambos modelos. En términos de la representación del
significado numérico, hace falta una línea mental analógica, como se propone el
modelo del triple código. Con relación
la representación de los procedimientos específicos de cálculo (suma,
resta, multiplicación y división), el modelo de McClosky et al., predice que
cada uno de ellos puede estar afectado selectivamente por una lesión, hecho que
apoyan los datos empíricamente. En cuanto a la controversia acerca de la
transcodificación de formas arábigas a verbales, existen datos a favor de la
existencia de una vía semántica y de otra asemántica.
Bibliografía:
- Artigas Pallarés, J. (2011) Discalculia. En J. Artigas-Pallarés y J. Narbona (Coords.) Trastornos del neurodesarrollo. Barcelona: Viguera.
- Dehaene, S. (1997). The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics. New York: Oxford University Press.
- Dehaene, S.; Piazza, M.; Pinel, P.; Cohen, L. (2003) Three parietal circuits for number processing. Cognitive Neuropsychology, 20, 487-506.
- McClosky, M.; Caramazza, A.; Basil, A. (1985) Cognitive mechanisms in number processing and calculation: evidence from dyscalculia. Brain and Cognition, 4, 171-196.
- Serra, J.M. (2013) Representación numérica. En D. Redolar (coord.) Neurociencia cognitiva. Madrid: Editorial Médica Panamericana.
